EJERCICIOS CAPITULO 10-1

EJERCICIO 19 OPTIMIZACION LINEAL

HOJA 1

HOJA 2

EJERCICIO 18 OPTIMIZACION LINEAL

OPTIMIZACION LINEAL

Consiste en una función objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones.

Los modelos de optimización son usados  en casi todas las áreas en tomas de decisiones, también busca la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor producción o felicidad pero también la que logra el menor costo, desperdicio o malestar.

Con frecuencia estos problemas implican utilizar de la manera mas eficiente los recursos tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal. Generalmente se clasifican en lineales y no lineales.

https://www.youtube.com/watch?v=5CAQDtlr89M

https://www.youtube.com/watch?v=cTiuwSbPpj0

DESIGUALDADES LINEALES

También conocidas como inecuaciones de primer grado

Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de desigualdad. Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que se pueden emplear otras estrategias, siempre y cuando respeten la propiedades algebraicas y de desigualdades. 

https://www.youtube.com/watch?v=OWA4w-0umvU

CLASIFICACION DE COSTOS

VIDEO COSTOS VARIABLES COSTOS FIJOS

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EJERCICIOS

PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o in-ecuaciones también lineales.

La programación lineal es uno de los instrumentos matemáticos usados en la resolución de los modelos, y es aplicable a un vasto campo de problemas en los negocios y en la industria. El denominador común que determina si la programación lineal puede ayudar a tomar una decisión correcta es la presencia de varias alternativas entre las que el ejecutivo debe elegir, y además la presencia de algunos factores limitativos (la maquinaría y el equipo de la planta, el material disponible, mano de obra, otros) que le impiden elegir todas las alternativas simultáneamente. Los requerimientos de una decisión que debe seleccionarse entre varías alternativas, ligadas a la presencia de factores limitativos, son comunes a muchos problemas industriales y explican el uso creciente de la programación lineal, como una técnica para resolverlos. 

1.    La progamación lineal es una técnica de modelo temático muy utilizada, cuyo fin es la de  ayudar a los administradores en la planeación y toma de decisiones respecto a la asignación de recursos.

2.    Programar en el mundo la ciencia de la administración se refiere a modelar y resolver matemáticamente un problema, es decir que tengamos la capacidad de plantear y resolver ecuaciones de tipo lineal generando y proporcionando una o varias alternativas a la ejecución de un problema.

3.    Busca  maximizar  o minimizar alguna cantidad, por lo general la utilidad o el costo.

4.    Se a aplicado a problemas de tipo militar, industriales financieros, de comercialización, contabilidad y agricultura entre otros. De acuerdo a sus diversas aplicaciones,

5.    Una funcion objetivo

Una o mas restricciones

Cursos de acion alternativos

La funcion objetivo y las restricciones son lineales: proporcionalidad y divisivilidad

Certeza

Divisibilidad

Variables no negativas.

6.    Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.^{nota 1} Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales)Entender cabalmente el problema administrativo que  se enfrenta.

Identificar el objetivo y las restricciones.

Definir las variables de decisión.

Utilizar las variables de decisión para recibir para recibir expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.

7.    La programación lineal, se conceptuó antes de la segunda guerra mundial, gracias a un destacado matemático sovietico A.N.  Kolmogorov. En base  a estas aplicaciones se otorgo el premio nobel de Economía que refería en el avance de los conceptos de planeación optima.

SISTEMAS DE ECUACION

MODELO DE COSTO LINEAL

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Modelos  Lineales

Para el caso de regresión, el modelo estadístico es como sigue: un modelo lineal predice el valor de una variable a través de otras que llamaremos factores mediante una función lineal de estos.¹ Estos factores están determinados por el escenario donde observamos la variable a predecir, a la cual llamaremos variable endógena. Dada una muestra (aleatoria)  la relación entre las observaciones Y_i y las variables independientes X_ij se fórmula como

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n}$

donde ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}$ pueden ser funciones no lineales. En la ecuación anterior, las cantidades ε_i son variables aleatorias representando errores en la relación. La parte "lineal" se refiere a la apariencia de los coeficientes de regresión, β_j en esta ecuación. Alternativamente, se puede decir que los valores ajustados correspondientes al anterior modelo, notados

${\displaystyle {\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\qquad (i=1,\ldots ,n),}$

son funciones lineales de los β_j.

Dado que la estimación se toma en la base de un análisis de mínimos cuadrados, las estimaciones de los parámetros desconocidos β_j se determinan al minimizar una función de suma de cuadrados

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\right)^{2}.}$

Por lo tanto, se puede ver que el aspecto "lineal" del modelo implica lo siguiente:

• la función a ser minimizada es una función cuadrática de los β_j para lo cual el problema de minimización es relativamente simple;
• las derivadas de la función son funciones lineales de los β_j haciendo fácil de encontrar los valores estimados que la minimizan;
• los valores estimados de β_j son funciones lineales de las observaciones Y_i;
• los valores estimados de β_j son funciones lineales de los errores aleatorios ε_i lo cual hace relativamente fácil determinar sus propiedades estadísticas.

GRAFICACION DE ECUACIONES

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EJERCICIOS 1

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

Son aquellas donde solo aparece una variable elevada al exponente 1. Puede usarse cualquier letra para denotar la incógnita y los coeficientes son números reales. Mediante transformaciones equivalentes se puede llevar a la forma a x + b = 0 (con a ≠ 0. El dominio de definición o dominio básico de estas ecuaciones son los valores admisibles del dominio de definición de las variables.

Características de las ecuaciones lineales en una variable

El lenguaje algebraico, como todo lenguaje consta de un sistema de signos, unas relaciones entre ellos para formar frases, una sintaxis y una semántica. El conjunto de signos con sentido forman una frase. 
La semántica estudia la correspondencia entre significantes y significados y permite distinguir de entre las frases correctamente formadas, aquellas que tienen significado. La sintaxis algebraica estudia las reglas a que han de someterse los símbolos para formar frases algebraicamente correctas. 
Hoy día el Álgebra no es “dar significado” a los símbolos, sino otro nivel más allá de eso; tiene que ver con aquellos modos de pensamiento que son esencialmente algebraicos –por ejemplo- manejar lo todavía desconocido, invertir y deshacer operaciones, ver lo general en lo particular. Ser consciente de esos procesos y controlarlos, es lo que significa pensar algebraicamente. 

Reglas de la sintaxis del lenguaje algebraico

• Los signos de las operaciones no pueden ir seguidos. 
• La letra que designa la incógnita funcionará como un número. 
• El signo igual (=) no puede ir al lado del signo de las operaciones. 
• Los signos de las operaciones y el de la igualdad no pueden empezar ni acabar frase. 

Dominio básico de una ecuación lineal

Un dominio numérico, se denomina dominio básico de una ecuación lineal, si y solo si este dominio numérico es el dominio de individuos para la variable contenida en la ecuación. 
Al sustituir la variable de la ecuación lineal por símbolos que denotan elementos apropiados de su dominio básico, esta ecuación se transforma en una proposición. El conjunto de elementos que la transforma en una proposición verdadera es su conjunto solución. 
Una ecuación de la forma a x + b = 0 (con a ≠ 0; a, b Є R) en un dominio básico de solución dado que contenga más de un elemento, tiene: 

• Ninguna solución, cuando al sustituir la variable por cada uno de los elementos del dominio básico no se obtiene proposición verdadera alguna.
• Exactamente una solución, cuando al sustituir la variable por los elementos del dominio básico, se obtiene una proposición verdadera en un único caso.

Las transformaciones equivalentes en una ecuación lineal

Toda transformación de una ecuación lineal que no conduce a ningún cambio, en el dominio básico de solución dado, se denomina transformación equivalente de la ecuación. 
Dentro de las principales transformaciones equivalentes de las ecuaciones lineales están: 

• Las que se realizan en cada miembro de la ecuación. 
  
  • Supresión de paréntesis. 
  • Colocación de paréntesis. 
  • Simplificación y ampliación de fracciones numéricas. 
  • Aplicación de la ley conmutativa de la adición y de la multiplicación. 
  • Agrupación de términos (adición, multiplicación, etcétera). 
• Las que se realizan en ambos miembros de la ecuación al mismo tiempo. Estas son transformaciones que se pueden fundamentar mediante la ley de monotonía. 
  
  • Adición o sustracción a ambos miembros de la ecuación, de un término T definido para todos los valores de de la variable, que se pueden sustituir en la ecuación. 
  • Multiplicación o división de ambos miembros de la ecuación por un término, que para todas las sustituciones permisibles de la variable toma valores diferentes de cero. 

Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

 log_a(X · Y)= log_a X + log_a Y

Demostración:

Sea log_a X = x; esto significa que a^x = X.

Sea log_a Y = y; esto significa que a^y = Y.

log_a(X · Y)= log_a (a^x · a^y) = log_a a^x+y = x + y = log_a X + log_a Y

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X₁, X₂, X₃, ..., X_n son n números reales, positivos y no nulos,

 log_a(X₁ · X₂ ... X_n)= log_a X₁ + log_a X₂ + ... + log_a X_n

2. Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

 

Demostración:

Sea log_a X = x; esto significa que a^x = X

Sea log_a Y = y; esto significa que a^y = Y

                   

3. Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

 log_a Xⁿ = n log_a X

Demostración:

Sea log_a X = x; esto significa que a^x = X.

 log_a Xⁿ = log_a (a^x)ⁿ = log_a a^nx = nx = n log_a X

4. Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

                                

Demostración:

Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.

                           

Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.